Estimadores

library(tidyverse)

── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
✔ ggplot2   3.4.4     ✔ tibble    3.2.1
✔ lubridate 1.9.3     ✔ tidyr     1.3.0
✔ purrr     1.0.2     
── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

Vamos definir uma função que implementa o seguinte estimador para a média de uma distribuição:

\[ \tilde{Y} = \frac{1}{n-1} \sum_{i = 1}^{n}Y_i \]

# defined estimator of Y_tilde
Y_tilde <- function(y) {
  (1/(length(y)-1))*sum(y)
}

# get 5 observations from N(10,25)
observations <- rnorm(5, mean = 10, sqrt(25))
Y_tilde(observations)

[1] 12.40891

# repeat 10000 times
set.seed(123)
est_bias <- replicate(10000, Y_tilde(rnorm(5, mean = 10, sqrt(25))))

df <- tibble(est_bias = est_bias)
df %>% 
  ggplot(aes(x = est_bias)) +
  geom_histogram() +
  geom_vline(xintercept = 10, color = "red")

`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Vamos repetir o exercício com amostrar maiores de 1000 elementos por amostra:

# repeat 10000 times para amostras de tamanho 1000
set.seed(123)
est_bias <- replicate(10000, Y_tilde(rnorm(1000, mean = 10, sqrt(25))))

df <- tibble(est_bias = est_bias)
df %>% 
  ggplot(aes(x = est_bias)) +
  geom_histogram() +
  geom_vline(xintercept = 10, color = "red")

`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Exemplo - Eficiência de um Estimador

Um estimador é eficiente se os pesos somados resultam em 1.

y_tilde1 <- function(y) {
  (1/length(y))*sum(y)
}
set.seed(123)
est_bar1 <- replicate(10000, y_tilde1(rnorm(100, mean = 5, sqrt(10))))
df <- tibble(est_bias = est_bar1)
df %>% 
  ggplot(aes(x = est_bias)) +
  geom_histogram() +
  geom_vline(xintercept = 5, color = "red")

`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

var(est_bar1)

[1] 0.09953755

Usando pesos diferentes para os 50 primeiros e 50 últimos.

n = 100
w = c(rep((1+0.5)/n, n/2), rep((1-0.5)/n, n/2))

y_tilde2 <- function(y) {
  sum(w*y)
}

est_tilde2 <- replicate(10000, expr = y_tilde2(rnorm(100, mean = 5, sqrt(10))))
df <- tibble(est_bias = est_tilde2)
df %>% 
  ggplot(aes(x = est_bias)) +
  geom_histogram() +
  geom_vline(xintercept = 5, color = "red")

`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

var(est_tilde2)

[1] 0.1248949