Distribuição Poisson

A distribuição Poisson é utilizada para aplicações onde a contagem do número de sucessos é um grande número de tentativas mas a probabilidade de sucesso de cada tentativa é pequena.

As condições para uso da distribuição de Poisson incluem:

• k é o número positivo de vezes que um evento acontece dentro de um período de tempo. O valor de k deve ser algo como: 0, 1, 2, 3, 4, etc.

• A ocorrência de um evento não afeta a re-ocorrência do evento, ou seja, os evento ocorrem independentemente. Uma fraca dependência é aceitável principalmente quando o número de eventos é grande.

• O evento em análise não pode ocorrer duas vezes no mesmo momento.

• A probabilidade de um evento ocorrer em uma pequena parte do intervalo de tempo analisado é proporcional ao tamanho da pequena parte do intervalo.

• O número de tentativas é consideravelmente maior do que o número de vezes que o evento ocorre.

Fórmula

A fórmula da distribuição de Poisson é:

\[ P(x,\mu) = \frac{e^{-\mu}\mu^x}{x!} \]

Onde,

x = número de vezes em que o evento ocorre durante um período de tempo

\(\mu\) = média de ocorrência do evento.

e = constante de Euler, aproximadamente 2,71828

Exemplo 1:

Considere que o número médio de vendas de um determinado modelo de televisão numa cadeia de lojas é de 5 aparelhos por dia.

Qual é a probabilidade de serem vendidos 9 aparelhos no dia de hoje?

\[ \begin{align} P(x, \mu) & = \\ & = P(9, 5) = \\ & = \frac{e^{-5} 5^{9}}{9!} = \\ & = 0.036 \end{align} \]

Utilizando R:

```{r}
#| warning: false
#| error: false
#| message: false

dpois(x = 9, lambda = 5)
```

[1] 0.03626558

Exemplo 2:

Uma lanchonete recebe em média 2.8 clientes por minuto.

Considerando que o número de clientes que chegam na lanchonete segue uma distribuição Poisson, qual é a probabilidade de 4 clientes chegarem no próximo minuto?

dpois(4, 2.8)

[1] 0.1557386

\[ \begin{align} P(4, 2.8) & = \\ & = \frac{e^{2.8} * 2.8^4}{4!} \\ & = 0.15573 \\ & = 15.5\% \end{align} \]

Example 3:

A distribuição de Poisson pode ser utilizada para calcular a probabilidade de “mais do que” ou “menos que” utilizando a regra da soma e as probabilidades complementares.

Foi registrado que um cruzamento registra 1.6 carros chegando por minuto.

Qual a probabilidade que 3 ou mais carros cheguem no cruzamento em um determinado minuto?

Neste caso, queremos:

\[ P(X \geq 3) \] com: \[ k = 3 \\ \lambda = 1.6 \]

Como não há limite superior para k, este valor não pode ser calculado diretamente. Entretanto, podemos calcular a \(P(X \leq 2)\) e obter seu complemento.

p0 = dpois(0,1.6)
p0

[1] 0.2018965

p1 = dpois(1,1.6)
p1

[1] 0.3230344

p2 = dpois(2,1.6)
p2

[1] 0.2584275

p = p0 + p1 + p2
p

[1] 0.7833585

1-p

[1] 0.2166415

# ou
ppois(2, 1.6)

[1] 0.7833585

\[ P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) \approx 0.2166 \]

ou:

\[ 21.7\% \]

Exemplo 4:

Um call-center recebe uma média de 4,5 chamadas a cada 5 minutos. Cada atendente consegue atender uma destas chamadas no período de 5min. Se uma chamada chega ao call-center e não há atendentes disponíveis, a chamada é colocada em espera.

Qual o número mínimo de atendentes que devem estar trabalhando para que o número de chamadas colocadas em espera não seja maior do que 10% do tempo.

P(X > k) < 0.1

Para resolver esta questão primeiro temos a constatação de que para uma chamada ficar em espera o número de chamadas recebidas deverá ser maior do que o número de atendentes.

Se X é o número de chamadas recebidas e k o número de atendentes, então k deve ser determinado de forma que:

\(P(X > k) \leq 0.1\)

ou equivalentemente:

\(P(X \leq k) > 0.9\)

O número médio de chamadas é 4,5 ou seja:

\(\lambda = 4.5\)

(p0 = dpois(0, 4.5))

[1] 0.011109

(p1 = dpois(1, 4.5))

[1] 0.04999048

(p2 = dpois(2, 4.5))

[1] 0.1124786

(p3 = dpois(3, 4.5))

[1] 0.1687179

(p4 = dpois(4, 4.5))

[1] 0.1898076

(p5 = dpois(5, 4.5))

[1] 0.1708269

(p6 = dpois(6, 4.5))

[1] 0.1281201

(p7 = dpois(7, 4.5))

[1] 0.08236295

1-p7

[1] 0.9176371

# ou
ppois(7, 4.5)

[1] 0.9134135

\(P(X = 7) \approx 0.0823 \implies P(X \leq 7) \approx 0.913\)

Se o objetivo é que menos de 10% das chamadas fiquem em espera, então ao menos 7 atendentes devem ser colocados em serviço.

Exemplo 5:

Se um site tem a média de 20 visitantes por hora, qual a probabilidade do site receber mais que 30 e 35 visitantes em uma determinada hora?

(p30 = 1 - ppois(30, 20))

[1] 0.01347468

(p35 = 1 - ppois(35, 20))

[1] 0.00080366

\[ P(X \geq 30) \approx 0.0134 \\ P(X \geq 40) \approx 0.0008 \]

.